入試数学整数（１）

入試数学　整数問題の基礎（１）
１．整数とは

　　入学試験では中学、高校、大学とよく出題されているが、教科書の単元として整数は取り上げられてはいない。現代数学の最先端に位置する問題であるから、試験問題としても取り扱いに受験生としても戸惑うことも多いと思う。まずは、整数の定義で最も単純なものを紹介する。



整数は零から順に一ずつ増すか減らすかすることによってできる数である。零、自然数、および自然数に対応する負数の総称をＺとすると、Ｚ＝｛・・・－３,－２,－１,０,１,２,３・・・｝となる。Ｚには加法と乗法という二つの演算が定義されている。Ｚの任意の二つの要素に対して、和と積が一意に定まり、その値もＺに属することを意味する。このことを加算と乗算について｢閉じている」という。整数全体の集合は加算について群をなす。


　　整数論の名著である高木貞治著「初等整数論講義」では「代数学でも、函数論でも、又は幾何学でも、整数論的の試練を経て始めて精妙の境地に入るのである。Gaussが整数論を数学中の数学と観じたる理由がここにある」と述べられている。
　

　未解決の整数問題集（レベル４以上）
１）素数の数列の一般項。
２）２より大きな偶数はすべて２つの素数の和になっているか（ゴールドバッハ予想）。
３）双子の素数は無限にあるか（差が２である２つの素数の組）例えば、３と５，５と７，１１と１３、・・・など。
４）素数の予想で（ｎの２乗＋１）という形の素数は無限にあるか（ｎは自然数）。
５）「自然数ｎが偶数のときは2で割る、奇数のときにはｎに3を掛けて1を加える」という操作を繰り返すと、有限回で必ず1となる（コラッツ予想）。
６）すべての自然数は完全数、過剰数、不足数に分けられる。自分自身を除くすべての約数の和が元の数と等しくなる数を完全数という。例えば6とか28である。約数の和が元の数よりも少なくなる数を不足数といい、2，3，4.・・・である。大きくなるものを過剰数といい、12とか18などがある。過剰数のうち、ほとんどのものはその一部の約数の和で表せるが、そのような性質を持たない数があり、これを不思議数という。最も小さなものは70である。不思議数の出現の法則はどのようなものか。

７）分割数とはある自然数を和の形に分ける分け方の数をいう。

4は1+1+1+1,2+1+1,3+1,2+2,4+0の5通りあるから、分割数p(4)=5のように表す。それでは自然数ｎに対してp(n)の一般的な表現はどのようになるか。

８）「すべての自然数は、たかだか4個の平方数の和で表される」、「すべての自然数は、たかだか9個の立方数の和で表される」ことは証明されている。さらに、19個の4乗数、37個の5乗数、73個の6乗数までは分かっているが、ｎ乗数ではどのような法則があるか（ウエアリングの問題）。

９）「二つの平方数の間に、必ず素数が潜んでいる」ことは正しいか（リーマン予想）。

参考文献
１．高木貞治著「初等整数論講義」共立出版
２．芹沢正三著「素数入門」講談社ブルーバックス
３．高校教科書など
http://iiaoki.jugem.jp